Dynamics of the helmholtz oscillator with fractional order damping

Abstract

The dynamics of the nonlinear Helmholtz Oscillator with fractional order damping are stud-ied in detail. The discretization of differential equations according to the Grünwald-Letnikov fractional derivative definition in order to get numerical simulations is reported. Comparison between solutions obtained through a fourth-order Runge-Kutta method and the fractional damping system are comparable when the fractional derivative of the damping term a is fixed at 1. That proves the good performance of the numerical scheme. The effect of taking the frac-tional derivative on the system dynamics is investigated using phase diagrams varying a from 0.5 to 1.75 with zero initial conditions. Periodic motions of the system are obtained at certain ranges of the damping term. On the other hand, escape of the trajectories from a potential well result at a certain critical value of the fractional derivative. The history of the displacement as a function of time is shown also for every a selected.

Las dinámicas del Oscilador Helmholtz no-linear con amortiguación fraccionaria se estudian en detalle. Se reporta la discretización de ecuaciones diferenciales de acuerdo a la definición de derivada fraccionaria Grünwald-Letnikov para obtener simulaciones numéricas. Se com-paran los resultados obtenidos para el caso no fraccionario mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el algoritmo fraccionario para el caso en el que el término fraccionario responsable del amortiguamiento del sistema a se fija en 1. Esto demuestra un buen rendimiento del esquema numérico. El efecto de tomar una derivada fraccionaria sobre las dinámicas del sistema se investiga al usar diagramas de fases variando a de 0.5 a 1.75 con condiciones iniciales de cero. Se obtienen movimientos periódicos del sistema en ciertos rangos determinados durante el amortiguamiento. Por el otro lado, el escape de las trayectorias de un pozo potencial resultará en un cierto valor crítico de la derivada fraccionaria.